В основе любой кредитной операции, т. е. передачи денег в долг заемщику от кредитора, лежит стремление получить доход. Абсолютная величина дохода, получаемого кредитором за передачу денег в долг, называется процентными деньгами или процентами. Происхождение этого названия связано с тем, что величина платы за кредит определяется обычно как соответствующий процент (в математическом смысле) от суммы кредита.
Плата за кредит может взиматься как в конце срока кредита, так и в его начале (авансовый процентный доход). В первом случае проценты начисляются в конце срока исходя из величины предоставляемой суммы, и возврату подлежит сумма долга вместе с процентами. Такой способ начисления процентов называется декурсивным. Во втором случае процентный доход приходуется авансом (выплачивается в начале срока), при этом должнику выдается сумма, уменьшенная на его величину, а возврату в конце срока подлежит лишь исходная ссуда. Процентный доход, выплачиваемый таким образом, называется дисконтом (т. е. скидкой с суммы ссуды), а способ начисления процентов - антисипативным.
В мировой практике декурсивный способ начисления процентов получил большее распространение, поэтому термин "декурсивный" обычно опускают, говоря просто о проценте или о ссудном проценте. При использовании же антисипативных процентов используют полное наименование.
Виды процентных ставок
Рассмотрим сначала декурсивный способ, когда проценты начисляются в конце срока кредита. С количественной стороны кредитная операция характеризуется следующим основным соотношением:
где Р - первоначальная сумма (сумма кредита); I - процентный доход - сумма платы за кредит; S - сумма, подлежащая возврату (полная стоимость кредита).
Сумма платы за кредит I обычно определяется в виде процента от суммы самого кредита - i T . Это отношение называется ставкой процентов, точнее, ставкой процентов за период Т:
(1.1.2)
Временной период, в конце которого приходуется процентный доход, называют еще периодом начисления процентов (часто встречается термин "период конверсии"). Процентная ставка относится ко всему периоду действия кредитного соглашения.
Поскольку сроки кредитов меняются в широком диапазоне (от нескольких дней до десятков лет), то для сравнения условий различных кредитов процентную ставку задают по отношению к некоторому базовому периоду. Наиболее распространен годовой базовый период - в этом случае говорят о годовой процентной ставке. Если период конверсии совпадает с базовым, то годовая процентная ставка совпадает с фактической (1.1.2). Если же срок сделки имеет другую длительность, то годовая процентная ставка, служащая основой для определения процентной ставки за период (фактической процентной ставки), называется номинальной. Процентная ставка за период вычисляется по формуле
где i - номинальная годовая процентная ставка; Т - срок действия соглашения, по истечении которого кредит должен быть возвращен вместе с процентами.
Если период конверсии укладывается целое число раз в году, то ставка за период вычисляется по формуле
где Т = 1/ m ; m - число периодов начисления процентов в году, или частота начисления процентов.
Закон наращения по простой процентной ставке. Дисконтирование; будущая и текущая стоимость денег
Процентный доход по закону простых процентов вычисляется исходя из того, что номинальная процентная ставка не зависит от периода начисления процентов:
Сумму S также называют накопленным (наращенным) значением исходной суммы Р. Используя формулы 1.1.1, 1.1.6, получим:
где s (T ) = l + iT - множитель (коэффициент) наращения, или аккумулирующий множитель за период Т.
Зная инвестированную сумму Р и процентную ставку i, легко вычислить по формуле (1.1.7) значение S для произвольного срока кредитного соглашения. Множитель наращения не зависит от величины начальной суммы и показывает, во сколько раз вырос первоначальный капитал. Именно он характеризует доходность кредитной операции, позволяя определить, во что превратится единичная сумма к концу срока (или через любой промежуток времени Т). В финансовой математике принято рассчитывать результаты финансовых операций для единичных сумм, умножая затем результат на первоначальную величину и получая значение наращенной суммы.
При проработке различного рода финансовых операций нередко приходится решать обратную задачу: известно, какая сумма в будущем нужна для получения некоторого результата, искомой величиной является текущее ее значение. Иными словами, задача ставится так: какую сумму необходимо инвестировать сегодня, чтобы через определенный интервал времени получить заданное значение? В данной ситуации текущая стоимость денежной суммы является проекцией ее заданного будущего значения. Такое проецирование суммы из будущего в настоящее называют дисконтированием. Название термина происходит от слова "дисконт" - скидка с цены долгового обязательства при авансированной выплате процентов за пользование кредитом. Дисконтирование и наращение - взаимно обратные процессы. Формула дисконтирования по простой процентной ставке выглядит следующим образом:
(1.1.8)
где v = 1/(1 + iT ) - дисконтный множитель за период Т.
В англоязычной литературе для обозначения наращенной суммы традиционно используется буквосочетание FV (от Future Value of Money - будущая стоимость денег); для обозначения текущей стоимости - PV (от Present Value of Money - настоящая стоимость денег).
Термины "наращение" и "дисконтирование" употребляются и в более широком смысле, как средства определения любой стоимостной величины на некоторый произвольный момент времени вне зависимости от конкретного вида финансовой операции, предусматривающей начисление процентов. Такой расчет называют приведением стоимостного показателя к заданному моменту времени. Наращенная, или будущая, стоимость денежной суммы означает проекцию заданной в настоящий момент суммы на определенный интервал времени вперед, в будущее. Дисконтирование – проекцию суммы, заданной в некоторый момент времени в будущем, на определенный интервал времени назад, в настоящее.
Приведение суммы к определенному моменту времени состоит в ее умножении на множитель приведения, который равен либо множителю наращения при приведении к будущему моменту времени, либо дисконтному множителю при приведении к предшествующему (настоящему) моменту времени. Удобно совместить начало шкалы времени с моментом времени, когда задана сумма. Тогда наращению соответствует положительная часть оси времени, а дисконтированию – отрицательная. В этом случае множитель приведения r(t) можно записать в виде
(1.1.9)
где s(t) = s(T) - множитель наращения; v(׀ t׀ ) = v Т – дисконтный множитель; Т = ׀ t׀ – величина периода исчисления (значение временного интервала на числовой оси, взятое по модулю).
Зависимость этого множителя от времени, т.е. от величины периода начисления процентов Т=׀ t׀ , определяемая формулой (1.1.9), приведена на рис. 1.1.1 для ставки 30% годовых.
Переменная процентная ставка
Часто в течение срока действия кредитного соглашения процентная ставка изменяется. В этом случае проценты рассчитываются отдельно для каждого периода, в течение которого процентная ставка постоянна, а затем в конце срока кредитования рассчитанные для отдельных периодов проценты суммируются.
В общем виде при интервалах времени N , на каждом из которых будет применяться своя ставка процентов, начисленная сумма процентов за весь срок составит
где k – порядковый номер временного интервала; i k , Т k – соответственно номинальная процентная ставка и длительность временного интервала (в годах).
Иногда в литературе встречается утверждение, что (1.1.10) есть сумма процентов, начисленных в каждом временном периоде. Однако, согласно схеме простых процентов, начисление и выплата процентов предполагаются лишь по истечении срока кредитного соглашения; их начисление и присоединение к сумме основного долга в пределах срока ссуды не предусмотрено. В связи с этим следует провести различие между расчетом и начислением процентов. Расчет процентов – это математическая операция по определению величины процентных денег за любой временной период, а также за весь срок кредитного соглашения. Начисление же процентов – это конкретная бухгалтерская операция, в результате которой плата за кредит должна быть либо перечислена кредитору, либо присоединена к сумме основного долга. Поэтому говорить о начислении процентов при изменении процентной ставки в пределах срока кредита некорректно (поскольку никаких бухгалтерских операций в этом случае не осуществляется); можно вести речь лишь о расчете процентов за тот или иной период.
Материал предоставлен сайтом (Электронная библиотека экономической и деловой литературы)
Прочитав данную главу, вы будете знать:
- o декурсивный и антисипативный способы;
- o учет влияния инфляции.
Расчет стоимости предприятия (бизнеса), как и большинство экономических расчетов, основывается на вычислении процентов декурсивным или антисипативным (предварительным) способом и теории аннуитетов.
Проценты - это доход в различных формах от предоставления финансовых средств (капитала) в долг или инвестиций.
Процентная ставка - показатель, характеризующий величину дохода или интенсивность начисления процентов.
Коэффициент наращения - величина, показывающая соотношение наращенного первоначального капитала.
Период начисления - промежуток времени, по истечении которого начисляются проценты (получается доход). Период начисления может делиться на интервалы начисления.
Интервал начисления - минимальный период, по прошествии которого происходит начисление части процентов. Проценты могут начисляться в конце интервала начисления (декурсивный способ) или в начале (антисипативный или предварительный способ).
Декурсивный способ
Декурсивная процентная ставка (ссудный процент) - это отношение суммы дохода, начисленного за определенный период, к сумме, имеющейся на начало данного периода.
Когда после начисления дохода за период этот доход выплачивается, а в следующий период процентный доход начисляется на первоначальную сумму, тогда используется формулы начисления простых ставок ссудных процентов.
Если ввести обозначения:
i (%) - годовая ставка ссудного процента (income); i - относительная величина годовой ставки процентов; I - сумма процентных денег, выплачиваемых за период (год);
P - общая сумма процентных денег за весь период начисления;
Р - величина первоначальной денежной суммы (present value);
F - наращенная сумма (future value);
k n - коэффициент наращения;
п - количество периодов начисления (лет);
d - продолжительность периода начисления в днях;
К - продолжительность года в днях К = 365 (366), то декурсивная процентная ставка (i):
Отсюда (6.1)
Тогда коэффициент наращения:
Если интервал наращения меньше одного периода (года) , то
Определение величины наращенной суммы F (future value) называется компаундингом (compounding).
Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 3 года по простой ставке 12% годовых. Определить наращенную сумму.
По формуле (6.1):
Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 182 дня, год обыкновенный, по простой ставке процентов 12% годовых. Определить наращенную сумму.
По формуле (6.2):
Иногда возникает необходимость решить обратную задачу: определить величину первоначальной (текущей, приведенной) суммы Р (present value), зная, какой должна быть наращенная сумма F (future value):
Определение величины первоначальной (текущей, приведенной) суммы р (present value) называется дисконтированием (discounting).
Пример. Через 3 года необходимо иметь сумму 16 500 руб. Какую сумму в этом случае необходимо положить на депозит по простой ставке 12% годовых.
Преобразуя формулы 6.1-6.3, можно получить
Процентные ставки в разные периоды могут изменяться.
Если в течение различных периодов начисления п , п 2 ,..., n N , используются различные ставки процентов i 1 , i 2 ,..., i N , где N - общее количество периодов начисления, то сумма процентных денег в конце периодов начисления при ставке процентов i 1 :
где n 1 - количество периодов начисления при ставке процентов i 1 в конце периодов начисления при ставке процентов и т.д.
Тогда при JV-периодах начисления наращенная сумма (N - номер последнего периода) при любом :
где коэффициент наращения: (6.5)
Пример. Кредит в размере 250 000 руб. выдается на 2,5 года по простой ставке процентов. Процентная ставка за первый год i = 18%, а за каждое последующее полугодие она уменьшается на 1,5%. Определите коэффициент наращения и наращенную сумму.
По формуле (6.5): k n = 1 + 0,18 + 0,5 (0,165 + 0,15 + 0.135) = 1,405.
По формуле (6.4): F = 250 000 х 1,405 = 351 250 руб.
Обратная задача:
Если п к = 1, то , (6.7)
где коэффициент наращения:. (6.8)
Пример. Кредит в размере 250 000 руб. выдается на 5 лет по простой ставке процентов. Процентная ставка за первый год i
По формуле (6.8): k n = 1 + 0,18 + 0,165 + 0.15 + 0,135 + 0,12 = 1,75.
По формуле (6.7): F = 250 000 x 1,75 = 437 500 руб.
Когда после начисления дохода за период этот доход не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого периода (к сумме, создавшей этот доход), и в следующий период процентный доход начисляется на всю эту сумму, тогда используются формулы начисления сложных процентов.
Если к представленным обозначениям добавить:
i c - относительная величина годовой ставки сложных процентов;
k nc - коэффициент наращения в случае сложных процентов;
j - номинальная ставка сложных ссудных процентов, по которой вычисляется поинтервальная ставка сложных ссудных процентов, то за период начисления, равный году, наращенная сумма - составит: . За второй период (через год): и т.д.
Через п лет наращенная сумма составит:
где коэффициент наращения k nc равен:
Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 3 года по сложной ставке 12% годовых. Определите наращенную сумму.
По формуле (6.9)
Решая обратную задачу:
где - коэффициент дисконтирования.
Коэффициент дисконтирования - величина, обратная коэффициенту наращения:
Пример. Через 3 года необходимо иметь сумму 16 500 руб. Какую сумму в этом случае необходимо вложить на депозит по сложной ставке 12% годовых.
Сравнивая коэффициенты наращения, при начислении простых и сложных процентов видно, что при п > 1. Чем больше периодов начисления, тем больше различие в величине наращенной суммы при начислении сложных и простых процентов.
Можно определить другие параметры:
п не является целым числом, то коэффициент наращения можно представить в двух видах:
где п - не кратное целому числу периодов начисления сложных процентов;
где п = п ц + d - общее количество периодов (лет) начисления, состоящее из целых и нецелого периодов начисления; п п d - количество дней нецелых (неполного) периода начисления; К = 365 (366) - количество дней в году; i c - относительная величина годовой ставки сложных процентов.
Оба варианта правомочны, но дают разные значения из-за разной точности вычисления.
Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 3 года 6 месяцев по сложной ставке 12% годовых. Определите наращенную сумму.
- 1) F = 25 000 (1 + 0,12) 3,5 = 25 000 x 1,4868 = 37 170 руб.;
- 2) F = 25 000 (1 + 0,12) 3 (1 + (180: 365) 0,12) = 25 000 x 1,4049 x 1,0592 = 37 201 руб.
Величина годовой ставки сложных процентов i 1 , i 2 ,..., i N может быть разной в течение различных периодов начисления n 1 , n 2 ,..., n N .
Тогда наращенная сумма в конце первого периода (года) начисления:
Во втором периоде (через год):
В n-периоде (за п периодов (лет)):
Тогда коэффициент наращения:
Пример. Кредит в размере 250 000 руб. выдается на 5 лет по сложной ставке процентов. Процентная ставка за первый год i = 18%, а последующий год она уменьшается на 1,5%. Определите коэффициент наращения и наращенную сумму.
По формуле (6.14): k nc = (1 + 0,18)(1 + 0,165)(1 + 0,15)(1 + 0,135)(1 + 0,12) = 2,0096.
По формуле (6.13): F = 250 000 x 1,75 = 502 400 руб.
Обратная задача:
Если начисление сложных процентов производится поинтервально, т.е. несколько раз за период, то формула начисления за интервал
где j = i - номинальная ставка сложных ссудных процентов; т - количество интервалов начисления в периоде (поквартально, ежемесячно и т.д.).
Доход за интервал присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала.
Тогда наращенная сумма при поинтервальном начислении за каждый период через п периодов (лет) составит
Кроме того, можно определить другие параметры:
Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на п = 3 года по сложной ставке 12% годовых, выплата по полугодиям т = 2. Определите наращенную сумму.
По формуле (6/16) 
.
Если количество периодов начисления сложных процентов п не является целым числом, то коэффициент наращения можно представить в виде
где п п - количество целых (полных) периодов (лет) начисления; р - количество целых (полных) интервалов начисления, но меньше общего количества интервалов в периоде, т.е. р < m;d - количество дней начисления, но меньше количества дней в интервале начисления.
Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на и =3 года 8 месяцев, 12 дней по сложной ставке 12% годовых, выплата по полугодиям т = = 2. Определите наращенную сумму.
Определение неудовлетворительной структуры баланса предприятия по критериям текущей ликвидности, обеспеченности собственными средствами, восстановления или утраты платежеспособности
Согласно постановлению Правительства РФ от 25.05.94 года №498, степень неплатежеспособности предприятий должна оцениваться по трем критериям, характеризующим неудовлетворительную структуру баланса:
1. коэффициент текущей ликвидности;
2. коэффициент обеспеченности собственными средствами;
3. коэффициент восстановления или утраты платежеспособности.
Основанием для признания структуры баланса предприятия неудовлетворительной, а предприятия - неплатежеспособным является выполнение одного из следующих условий:
Коэффициент текущей ликвидности на конец отчетного периода имеет значение менее 2;
Коэффициент обеспеченности собственными средствами на конец отчетного периода имеет значение менее 0.1. На основании этих коэффициентов территориальными агентствами по неплатежеспособности и банкротству предприятий принимаются следующие решения: О признании структуры баланса неудовлетворительной, следовательно, предприятие – неплатежеспособно. О наличии реальной возможности у предприятия-должника восстановить свою платежеспособность. О наличие реальной возможности утраты платежеспособности предприятия, если оно в ближайшее время не сможет выполнить своих обязательств перед кредиторами. Эти решения принимаются вне зависимости от наличия у предприятия установленных законодательством внешних признаков несостоятельности.
Коэффициент текущей ликвидности характеризует общую обеспеченность предприятия оборотными средствами для ведения хозяйственной деятельности и возможность предприятия своевременно погашать срочные обязательства = тек активы/тек пассивы.
Коэффициент обеспеченности собственными средствами характеризует наличие собственных средств у предприятия, необходимых для обеспечения его финансовой устойчивости = (тек.пассивы-тек.активы)/общ величина тек активов.
Признание предприятия неплатежеспособным не всегда означает признание его несостоятельным, не влечет за собой наступление гражданско-правовой ответственности собственника. Это лишь фиксируется в территориальном агентстве по банкротству как финансовая неустойчивость.
Нормативное значение критериев установлено таким образом, чтобы обеспечить меры по предупреждению несостоятельности предприятия, а также стимулировать данное предприятие к самостоятельному выходу из кризиса. В случае если хотя бы один из двух вышеперечисленных коэффициентов не отвечает нормативным значениям, рассчитывается коэффициент восстановления платежеспособности за предстоящий период 6 месяцев. Если коэффициент текущей ликвидности больше или равен 2, коэффициент обеспеченности больше или равен 0,1, то рассчитывается коэффициент утраты платежеспособности за предстоящий период 3 месяцев.
Коэффициент восстановления платежеспособности определяется как сумма фактического значения текущей ликвидности отчетного периода и изменение этого коэффициента между окончанием и началом периода в перерасчете на 6 месяцев.
К1Ф – фактическое значение коэффициента текущей ликвидности на конец отчетного периода.
К2Ф – фактическое значение коэффициента текущей ликвидности на начало отчетного периода.
Т – отчетный период в месяцах
2 – норматив коэффициента текущей ликвидности
(на 6 мес) > 1, то у предприятия есть реальная возможность восстановить свою платежеспособность за достаточно короткий период.
Если коэффициент восстановления платежеспособности < 1, то у предприятия нет реальной возможности восстановить свою платежеспособность на данный момент и за достаточно короткий срок.
Коэффициент утраты платежеспособности определяется:
Если коэффициент утраты платежеспособности (на 3 мес) > 1, это свидетельствует о наличие реальной возможности у предприятия утратить платежеспособность.
При наличии оснований для признания структуры баланса неудовлетворительной, но в случае выявления реальной возможности восстановить платежеспособность, территориальным агентством по банкротству принимается отложить решение о признании структуры баланса неудовлетворительной, а предприятие неплатежеспособным на срок до 6 месяцев.
Если такие основания отсутствуют, то принимается одно из двух решений:
Если коэффициент восстановления платежеспособности > 1, то не принимается решение о признании структуры баланса неудовлетворительной, а предприятие – неплатежеспособным.
Если коэффициент восстановления платежеспособности < 1, тогда решение о признании структуры баланса неудовлетворительной, а предприятие – неплатежеспособным так же не может быть принятым. Однако в виду реальной угрозы утраты платежеспособности оно ставится на учет в территориальный орган по банкротству, но только в том случае, если доля государственных предприятий в общей собственности более 25%.
Ряд предприятий может оказаться неплатежеспособным в связи с задолженностью государства перед этим предприятием. В этом случае производится анализ зависимости платежеспособности предприятия на данный момент и задолженности государства предприятию.
Проценты – доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты и т.д.), либо от инвестиций производственного или фин. характера.
Процентная ставка – это величина, характеризующая интенсивность начисления процента.
В настоящее время существует два способа определения и начисления процентов:
Декурсивный способ. Проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из величины предоставленного капитала. Соответственно декурсивная процентная ставка (процент) представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала.
Антисипативный (предварительный) способ. Предварительный процент начисляется в начале каждого интервала начисления. Сумма процентных денег определяется исходя из наращенной суммы. Процентной ставкой будет выраженное в процентах отношение суммы дохода, выплаченного за определенный интервал к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала.
Процентная ставка показывает степень интенсивности изменения стоимости денег во времени. Абсолютная величина этого изменения называется процентом , измеряется в денежных единицах (например, рублях) и обозначается I. Если обозначить будущую сумму S, а современную (или первоначальную) P, то I = S – P. Процентная ставка i является относительной величиной, измеряется в десятичных дробях или %, и определяется делением процентов на первоначальную сумму:
Кроме процентной существует учетная ставка d (другое название – ставка дисконта), величина которой определяется по формуле:
где D – сумма дисконта.
Сравнивая формулы (1) и (2) можно заметить, что сумма процентов I и величина дисконта D определяются одинаковым образом – как разница между будущей и современной стоимостями. Однако, смысл, вкладываемый в эти термины неодинаков. если в первом случае речь идет о приросте текущей стоимости, то во втором определяется снижение будущей стоимости, “скидка” с ее величины. Основной областью применения учетной ставки является дисконтирование, процесс, обратный по отношению к начислению процентов. При помощи рассмотренных выше ставок могут начисляться как простые так и сложные проценты. При начислении простых процентов наращение первоначальной суммы происходит в арифметической прогрессии, а при начислении сложных процентов – в геометрической. Начисление простых декурсивных и антисипативных процентов производится по различным формулам:
декурсивные проценты: (3)
антисипативные проценты: , (4)
где n – продолжительность ссуды, измеренная в годах.
Однако продолжительность ссуды n необязательно должна равняться году или целому числу лет. Простые проценты чаще всего используются при краткосрочных операциях. В этом случае возникает проблема определения длительности ссуды и продолжительности года в днях. Если обозначить продолжительность года в днях буквой K (этот показатель называется временная база ), а количество дней пользования ссудой t, то использованное в формулах (3) и (4) обозначение количества полных лет n можно будет выразить как t/K. Подставив это выражение в (3) и (4), получим:
для декурсивных процентов: (6)
для антисипативных процентов: , (7)
Наиболее часто встречаются следующие комбинации временной базы и длительности ссуды (цифры в скобках обозначают соответственно величину t и K):
Точные проценты с точным числом дней (365/365).
Обыкновенные (коммерческие) проценты с точной длительностью ссуды (365/360).
Обыкновенные (коммерческие) проценты с приближенной длительностью ссуды (360/360).
Обратной задачей по отношению к начислению процентов является расчет современной стоимости будущих денежных поступлений (платежей) или дисконтирование. В ходе дисконтирования по известной будущей стоимости S и заданным значениям процентной (учетной) ставки и длительности операции находится первоначальная (современная, приведенная или текущая ) стоимость P. В зависимости от того, какая именно ставка – простая процентная или простая учетная – применяется для дисконтирования, различают два его вида: математическое дисконтирование и банковский учет .
Метод банковского учета получил свое название от одноименной финансовой операции, в ходе которой коммерческий банк выкупает у владельца (учитывает) простой или переводный вексель по цене ниже номинала до истечения означенного на этом документе срока его погашения. Разница между номиналом и выкупной ценой образует прибыль банка от этой операции и называется дисконт (D). Для определения размера выкупной цены (а следовательно, и суммы дисконта) применяется дисконтирование по методу банковского учета. При этом используется простая учетная ставка d. Выкупная цена (современная стоимость) векселя определяется по формуле:
где t – срок, остающийся до погашения векселя, в днях. Второй сомножитель этого выражения (1 – (t / k) * d) называется дисконтным множителем банковского учета по простым процентам.
При математическом дисконтировании используется простая процентная ставка i. Расчеты выполняются по формуле:
Выражение 1 / (1 + (t / k) * i) называется дисконтным множителем математического дисконтирования по простым процентам.
Основной областью применения простых процентной и учетной ставок являются краткосрочные финансовые операции, длительность которых менее 1 года.
Вычисления с простыми ставками не учитывают возможность реинвестирования начисленных процентов, потому что наращение и дисконтирование производятся относительно неизменной исходной суммы P или S. В отличие от них сложные ставки процентов учитывают возможность реинвестирования процентов, так как в этом случае наращение производится по формуле не арифметической, а геометрической прогрессии, первым членом которой является начальная сумма P, а знаменатель равен (1 + i). Наращенная стоимость (последний член прогрессии) находится по формуле:
(10), где (1 + i) n – множитель наращения декурсивных сложных процентов.
Сама по себе сложная процентная ставка i ничем не отличается от простой и рассчитывается по такой же формуле (1). Сложная учетная ставка определяется по формуле (2). Так же как и в случае простых процентов возможно применение сложной учетной ставки для начисления процентов (антисипативный метод):
, (11) где 1 / (1 – d)^n – множитель наращения сложных антисипативных процентов.
Важной особенностью сложных процентов является зависимость конечного результата от количества начислений в течение года.
В финансовых расчетах номинальную сложную процентную ставку принято обозначать буквой j. Формула наращения по сложным процентам при начислении их m раз в году имеет вид:
При начислении антисипативных сложных процентов, номинальная учетная ставка обозначается буквой f, а формула наращения принимает вид:
Выражение 1 / (1 – f / m)^mn множитель наращения по номинальной учетной ставке.
Дисконтирование по сложным процентам также может выполняться двумя способами – математическое дисконтирование и банковский учет. Последний менее выгоден для кредитора, чем учет по простой учетной ставке, поэтому используется крайне редко. В случае однократного начисления процентов его формула имеет вид:
где (1 –d) n – дисконтный множитель банковского учета по сложной учетной ставке.
при m > 1 получаем
, (16)где f – номинальная сложная учетная ставка,
(1 – f / m) mn – дисконтный множитель банковского учета по сложной номинальной учетной ставке.
Значительно более широкое распространение имеет математическое дисконтирование по сложной процентной ставке i. Для m = 1 получаем
, (17) где 1 / (1 + i) n – дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной процентной ставке.
При неоднократном начислении процентов в течение года формула математического дисконтирования принимает вид:
, (18) где j –номинальная сложная процентная ставка,
1 / (1 + j / m) mn – дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной номинальной процентной ставке.
При долгосрочных финансово-кредитных операциях проценты после очередного периода начисления присоединяются к сумме долга, и в следующем периоде проценты начисляются на общую сумму, т.е. с капитализацией процентов. Такие проценты называются сложными, база для их начисления увеличивается с каждым очередным периодом начисления.
Наращенная сумма за n лет при использовании постоянной годовой ставки сложных процентов i с определяется по формуле
S = P (1 + i с) n .
Задача 7
Банк выдал ссуду 500 тыс. р. на 3 года. Определить погашаемую сумму при использовании сложной ставки 18% годовых и сумму процентных денег.
Решение:
S = 500 000 (1 + 0.18) 3 = 821 516 р.
Процентные деньги = 821 516 – 500 000 = 321 516 р.
Начисление сложных процентов при сроке ссуды более одного года дает большую сумму процентных денег, чем начисление простых процентов.
Если начисление сложных процентов осуществляется несколько раз в году (по месяцам, кварталам, полугодиям), то используется номинальная ставка процентов – годовая ставка, исходя из которой определяется величина ставки процентов, применяемой в каждом периоде начисления.
Наращенная сумма при этом определяется по формуле
S = P (1 + j / m) mn ,
где j – номинальная ставка сложных процентов, десятичная дробь;
m – количество периодов начисления процентов в году;
n – срок ссуды в годах;
j / m – ставка процентов в каждом периоде начисления, десятичная дробь.
Задача 8
Банк ежеквартально начисляет проценты на вклады по номинальной ставке 16% годовых. Определить сумму, полученную вкладчиком через 5 лет, если первоначальная сумма вклада равна 100 тыс. р.
Решение:
S = 100 000 (1 + 0.16 / 4) 4 х 5 = 219 112.2 р.
Из формулы для наращенной суммы можно определить значение суммы, выдаваемой заемщику, т.е. осуществить дисконтирование суммы S по сложной ставке процентов.
Решите самостоятельно
Задача 9
Определите современную величину суммы 500 тыс. р., которая будет выплачена через 3 года при использовании ставки сложных процентов 20% годовых.
Ответ: 289 351.8 р.
Срок ссуды (из формулы наращенной суммы) определится
n = log (S/P) / log (1+i).
Логарифмы могут браться с любыми равными основаниями.
Задача 10
Банк начисляет сложные проценты по ставке 12% годовых. Определите срок в годах, за который сумма вклада в 25 тыс. руб. вырастет до 40 тыс. р.
Ответ: 4.15 года.
Задача 11
Сумма долга удвоилась за 3 года. Определить использованную годовую ставку сложных процентов.
Ответ: 26%.
Антисипативный метод начисления простых процентов
(простые учетные ставки)
При использовании учетных ставок сумма процентных денег от предоставления денег в долг определяется исходя из суммы, которая должна быть возвращена, т.е. величиной получаемого кредита считается не получаемая, а наращенная сумма. Процентные деньги, начисленные по учетной ставке, удерживаются непосредственно при выдаче ссуды, а заемщик получает сумму кредита сразу за вычетом процентных денег. Такая операция называется дисконтированием по учетной ставке, а также банковским или коммерческим учетом. Сумма процентных денег, начисленная по учетной ставке, называется дисконтом .
Сумма, получаемая заемщиком, определится по формуле
P = S (1 – n d) ,
где d – простая учетная ставка;
(1 – n d) – коэффициент дисконтирования по простой учетной ставке.
Из формулы видно, что, в отличие от ссудных ставок, учетные ставки не могут принимать любые значения, коэффициент дисконтирования не может быть отрицательным, т.е. n d должно быть строго меньше единицы. Значения d, близкие к предельным, на практике не встречаются.
Задача 12
Заемщик берет ссуду на квартал с обязательством возвратить 100 тыс. р. Определить сумму, полученную заемщиком, и величину дисконта, удержанного банком, при учетной ставке 15% годовых.
Решение:
P = 100 000 (1 – 0.25 х 0.15) = 96 250 р.
Дисконт = S – P = 100 000 – 96 250 = 3 750 р.
Если срок ссуды задан в днях (д), сумма, получаемая заемщиком, определится по формуле
P = S (1 – d д / K) ,
где К – количество дней в году (временная база).
Решите самостоятельно
Задача 13
Определить сумму, полученную заемщиком, и величину дисконта, полученного банком, если по договору заемщик должен через 200 дней возвратить 100 тыс. р. при учетной ставке банка 10% годовых и временной базе 360 дней.
Ответ: 94 444.44 р.; 5 555.56 р.
На практике учетные ставки используются при покупке (учете) векселей и других денежных обязательств. В этом случае банк или другое финансовое учреждение до наступления срока по векселю покупает его у владельца (поставщика) по цене, меньшей той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, или, как принято говорить, банк учитывает вексель с дисконтом. Владелец векселя при этом получает деньги ранее указанного в векселе срока за вычетом дохода банка в виде дисконта. Банк, получив при наступлении срока оплаты векселя указанную в нем сумму, реализует (получает) дисконт.
Указанную операцию можно рассматривать как выдачу банком ссуды в размере суммы, указанной в векселе, по учетной ставке, используемой при его учете, на срок, равный сроку от даты учета до даты погашения векселя. Следовательно, сумма, выдаваемая владельцу учитываемого векселя, будет определяться по формуле
P = S (1 – Δn·d) = S (1 – d·Δд / K),
где Δn = Δд / K – срок в днях от даты учета до даты погашения векселя;
Δд – число дней от даты учета до даты погашения векселя.
Задача 14
При учете векселя на сумму 100 тыс. р., до срока оплаты которого осталось 80 дней, банк выплатил его владельцу 98 тыс. р. Определить, какую учетную ставку использовал банк при временной базе 360 дней.
Решение:
d = (100 000 – 98 000) х 360 / (100 000 х 80) = 0.09 = 9%.
Решите самостоятельно
Задача 15
Вексель на сумму 200 тыс. р. учет в банке за 30 дней до срока его погашения по учетной ставке 15% годовых. Определить сумму, полученную владельцем векселя, и сумму дисконта, полученную банком, при временной базе 360 дней.
Ответ: 197 500 р.; 2 500 р.
Задача 16
Банк выдает ссуды по учетной ставке 15% годовых. Определить срок ссуды в годах, если заемщик хочет получить 500 тыс. р., а погашаемая сумма должна составить 550 тыс. р
. Ответ: 0.61 года.
Начисление простых ставок применяется, как правило, при краткосрочном кредитовании.
ВВЕДЕМ ОБОЗНАЧЕНИЯ:
S - наращенная сумма, р.;
P - первоначальная сумма долга, р.;
i - годовая процентная ставка (в долях единицы);
n - срок ссуды в годах.
В конце первого года наращенная сумма долга составит
S1 = P + P i = Р (1+ i);
в конце второго года:
S2 = S1 + P i = Р (1+ i) + P i = Р (1+ 2 i); в конце третьего года:
S3 = S2 + Pi = Р (1+ 2 i) + P i = Р (1+3 i) и так далее. В конце срока n: S1 = Р (1+ n i).
Это формула наращения по простой ставке процентов. Надо иметь в виду, что процентная ставка и срок должны соответствовать друг другу, т.е. если берется годовая ставка, то срок должен быть выражен в годах (если квартальная, то и срок - в кварталах и т.д.).
Выражение в скобках представляет собой коэффициент наращения по простой ставке процентов:
КН = (1+ n i).
Следовательно,
Si = Р Кн.
Задача 5.1
Банк выдал ссуду в размере 5 млн р. на полгода по простой ставке процентов 12% годовых. Определить погашаемую сумму.
РЕШЕНИЕ:
S = 5 млн. (1 + 0.5 ¦ 0.12) = 5 300 000 р.
Если срок, на который деньги берутся в долг, задан в днях, наращенная сумма будет равна S = Р (1 + д/К i),
где д - продолжительность срока в днях;
К - число дней в году.
Величину К называют временной базой.
Временная база может браться равной фактической продолжительности года - 365 или 366 (тогда проценты называются точными) или приближенной, равной 360 дням (тогда это обыкновенные проценты).
Значение числа дней, на которые деньги взяты в долг, может также определяться точно или приближенно. В последнем случае продолжительность любого целого месяца принимается равной 30 дням. В обоих случаях дата выдачи денег в долг и дата их возвращения считается за один день.
Задача 5.2
Банк выдал ссуду в размере 200 тыс. р. с 12.03 по 25.12 (год високосный) по ставке 7% годовых. Определить размер погашаемой суммы с различными вариантами временной базы при точном и приближенном числе дней ссуды и сделать вывод о предпочтительных вариантах с точки зрения банка и заемщика.
РЕШЕНИЕ:
Точное число дней ссуды с 12.03. по 25.12:
20+30+31+30+31+31+30+31+30+25=289.
Приближенное число дней ссуды:
20+8-30+25=285;
а) Точные проценты и точное число дней ссуды:
S =200 000 (1+289/366 ¦ 0.07) = 211 016 р.;
б) обыкновенные проценты и точное число дней ссуды:
S =200 000 (1+289/360 ¦ 0.07) =211 200;
в) обыкновенные проценты и приближенное число дней ссуды:
S= 200 000 (1+285/360 ¦ 0.07) =211 044;
г) точные проценты и приближенное число дней ссуды:
S= 200 000 (1+285/366 ¦ 0.07) =210 863.
Таким образом, самая большая наращенная сумма будет в варианте б) - обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, а самая маленькая - в варианте г) - точные проценты с приближенным числом дней ссуды.
Следовательно, с точки зрения банка как кредитора предпочтительным является вариант б), а с точки зрения заемщика - вариант г).
Надо иметь в виду, что кредитору в любом случае более выгодны обыкновенные проценты, а заемщику - точные (при любых ставках - простых или сложных). В первом случае наращенная сумма всегда больше, а во втором случае - меньше.
Если ставки процентов на разных интервалах начисления в течение срока долга будут различными, наращенная сумма определяется по формуле
N
S = Р (1 + I nt it),
t=1
где N - количество интервалов начисления процентов;
nt - длительность t-го интервала начисления;
it - ставка процентов на t- м интервале начисления.
Задача 5.3
Банк принимает вклады по простой ставке процентов, которая в первый год составляет 10%, а потом каждые полгода увеличивается на 2 процентных пункта. Определить размер вклада в 50 тыс. р. с процентами через 3 года.
Решение:
S = 50 000 (1 + 0.1 + 0.5 0.12 + 0.5 0.14 + 0.5 0.16 + 0.5 0.18) = 70 000 р.
Используя формулу для наращенной суммы, можно определить срок ссуды при прочих заданных условиях.
Срок ссуды в годах:
S - P N = .
P i
Определить срок ссуды в годах, за который долг 200 тыс. р. возрастет до 250 тыс. р. при использовании простой ставки процентов - 16% годовых.
РЕШЕНИЕ:
(250 000 - 200 000) / (200 000 0.16) = 1.56 (лет).
Из формулы для наращенной суммы можно определить ставку простых процентов, а также первоначальную сумму долга.
Решить самостоятельно
Задача 5.5
При выдаче кредита 600 тыс. р. оговорено, что заемщик вернет через два года 800 тыс. р. Определить использованную банком величину ставки процентов.
ОТВЕТ: 17%.
Задача 5.6
Ссуда, выданная по простой ставке 15% годовых, должна быть возвращена через 100 дней. Определить сумму, полученную заемщиком, и сумму процентных денег, полученных банком, если возвращаемая сумма должна составить 500 тыс. р. при временной базе 360 дней.
ОТВЕТ: 480 000Р.
Операцию нахождения первоначальной суммы долга по известной погашаемой называют дисконтированием. В широком смысле термин "дисконтирование" означает определение значения Р стоимостной величины на некоторый момент времени при условии, что в будущем она будет равна заданному значению S. Подобные расчеты называют также приведением стоимостного показателя к заданному моменту времени, а значение Р, определенное дисконтированием,
называют современным, или приведенным, значением стоимостной величины. Дисконтирование позволяет учитывать в стоимостных расчетах фактор времени. Коэффициент дисконтирования всегда меньше единицы.
Формула дисконтирования по простой ставке процентов:
P = S / (1 + ni), где 1 / (1 + ni) - коэффициент дисконтирования.
Еще по теме Декурсивный метод начисления простых процентов:
- 1. Концепция и методический инструментарий оценки стоимости денег во времени.
- 2.3. Определение современной и будущей величины денежных потоков
- Авторское право - Адвокатура - Административное право - Административный процесс - Антимонопольно-конкурентное право - Арбитражный (хозяйственный) процесс - Аудит - Банковская система - Банковское право - Бизнес - Бухгалтерский учет - Вещное право - Государственное право и управление - Гражданское право и процесс - Денежное обращение, финансы и кредит - Деньги - Дипломатическое и консульское право - Договорное право - Жилищное право - Земельное право - Избирательное право - Инвестиционное право - Информационное право - Исполнительное производство - История государства и права - История политических и правовых учений - Конкурсное право - Конституционное право - Корпоративное право - Криминалистика - Криминология -
Загрузка...
